%cg.state = type { ptr, ptr, ptr, double }
define void @cg_solve(ptr %A, ptr %x, ptr %b) {
entry:
  %r0 = call ptr @residual(ptr %A, ptr %x, ptr %b)
  %p0 = call ptr @clone(ptr %r0)
  br label %cg.loop
cg.loop:
  %rho = call double @dot(ptr %r, ptr %r)
  %Ap = call ptr @spmv(ptr %A, ptr %p)
  %den = call double @dot(ptr %p, ptr %Ap)
  %alpha = fdiv double %rho, %den
  call void @axpy(double %alpha, ptr %p, ptr %x)
  call void @axpy(double -%alpha, ptr %Ap, ptr %r)
  %rho.next = call double @dot(ptr %r, ptr %r)
  %beta = fdiv double %rho.next, %rho
  call void @scale_add(ptr %p, ptr %r, double %beta)
  br i1 %done, label %exit, label %cg.loop
exit:
  ret void
}

%gmres.krylov = type { ptr, ptr, ptr, i64 }
define void @gmres_restart(ptr %A, ptr %x, ptr %b) {
entry:
  call void @arnoldi_init(ptr %b)
  br label %arnoldi
arnoldi:
  %v = call ptr @basis_vector(i64 %j)
  %w = call ptr @spmv(ptr %A, ptr %v)
  call void @orthogonalize(ptr %w)
  call void @givens_reduce(ptr %w)
  br i1 %happy, label %update, label %arnoldi
update:
  call void @least_squares(ptr %x)
  ret void
}

%cg.state = type { ptr, ptr, ptr, double }
define void @cg_solve(ptr %A, ptr %x, ptr %b) {
entry:
  %r0 = call ptr @residual(ptr %A, ptr %x, ptr %b)
  %p0 = call ptr @clone(ptr %r0)
  br label %cg.loop
cg.loop:
  %rho = call double @dot(ptr %r, ptr %r)
  %Ap = call ptr @spmv(ptr %A, ptr %p)
  %den = call double @dot(ptr %p, ptr %Ap)
  %alpha = fdiv double %rho, %den
  call void @axpy(double %alpha, ptr %p, ptr %x)
  call void @axpy(double -%alpha, ptr %Ap, ptr %r)
  %rho.next = call double @dot(ptr %r, ptr %r)
  %beta = fdiv double %rho.next, %rho
  call void @scale_add(ptr %p, ptr %r, double %beta)
  br i1 %done, label %exit, label %cg.loop
exit:
  ret void
}

define void @minres_step(ptr %T, ptr %q, ptr %x) {
entry:
  %alpha = call double @dot(ptr %q, ptr %T)
  %v = call ptr @lanczos_next(ptr %T, ptr %q)
  br label %qr.chase
qr.chase:
  %c = call double @givens_c(ptr %v)
  %s = call double @givens_s(ptr %v)
  call void @apply_rotation(double %c, double %s)
  call void @update_solution(ptr %x)
  br i1 %small, label %exit, label %qr.chase
exit:
  ret void
}

define void @bicg_shadow(ptr %A, ptr %x, ptr %b) {
entry:
  %r = call ptr @residual(ptr %A, ptr %x, ptr %b)
  %rs = call ptr @shadow(ptr %r)
  br label %bi.loop
bi.loop:
  %rho = call double @dot(ptr %rs, ptr %r)
  %v = call ptr @spmv(ptr %A, ptr %p)
  %vt = call ptr @spmvt(ptr %A, ptr %ps)
  call void @dual_update(ptr %r, ptr %rs)
  br i1 %halt, label %exit, label %bi.loop
exit:
  ret void
}

define void @minres_step(ptr %T, ptr %q, ptr %x) {
entry:
  %alpha = call double @dot(ptr %q, ptr %T)
  %v = call ptr @lanczos_next(ptr %T, ptr %q)
  br label %qr.chase
qr.chase:
  %c = call double @givens_c(ptr %v)
  %s = call double @givens_s(ptr %v)
  call void @apply_rotation(double %c, double %s)
  call void @update_solution(ptr %x)
  br i1 %small, label %exit, label %qr.chase
exit:
  ret void
}

define void @bicgstab_kernel(ptr %A, ptr %x, ptr %b) {
entry:
  %r0 = call ptr @residual(ptr %A, ptr %x, ptr %b)
  %rhat = call ptr @clone(ptr %r0)
  br label %stab.loop
stab.loop:
  %rho = call double @dot(ptr %rhat, ptr %r)
  %beta = call double @next_beta(double %rho, double %omega)
  %p = call ptr @stabilize(ptr %r, ptr %v, double %beta)
  %v = call ptr @spmv(ptr %A, ptr %p)
  %alpha = call double @safe_div(ptr %rho, ptr %v)
  %s = call ptr @residual_s(ptr %r, ptr %v, double %alpha)
  %t = call ptr @spmv(ptr %A, ptr %s)
  %omega = call double @minimize(ptr %t, ptr %s)
  call void @commit(ptr %x, ptr %p, ptr %s)
  br i1 %conv, label %exit, label %stab.loop
exit:
  ret void
}

define void @qr_eigen_sweep(ptr %H) {
entry:
  br label %shift.loop
shift.loop:
  %mu = call double @wilkinson_shift(ptr %H)
  call void @subtract_shift(ptr %H, double %mu)
  call void @householder_qr(ptr %H)
  call void @rq_recompose(ptr %H)
  call void @add_shift(ptr %H, double %mu)
  br i1 %deflated, label %exit, label %shift.loop
exit:
  ret void
}

define void @bicgstab_kernel(ptr %A, ptr %x, ptr %b) {
entry:
  %r0 = call ptr @residual(ptr %A, ptr %x, ptr %b)
  %rhat = call ptr @clone(ptr %r0)
  br label %stab.loop
stab.loop:
  %rho = call double @dot(ptr %rhat, ptr %r)
  %beta = call double @next_beta(double %rho, double %omega)
  %p = call ptr @stabilize(ptr %r, ptr %v, double %beta)
  %v = call ptr @spmv(ptr %A, ptr %p)
  %alpha = call double @safe_div(ptr %rho, ptr %v)
  %s = call ptr @residual_s(ptr %r, ptr %v, double %alpha)
  %t = call ptr @spmv(ptr %A, ptr %s)
  %omega = call double @minimize(ptr %t, ptr %s)
  call void @commit(ptr %x, ptr %p, ptr %s)
  br i1 %conv, label %exit, label %stab.loop
exit:
  ret void
}

define void @gmres_hessenberg(ptr %A, ptr %V, ptr %H) {
entry:
  br label %outer
outer:
  %vj = call ptr @load_basis(ptr %V, i64 %j)
  %w = call ptr @spmv(ptr %A, ptr %vj)
  br label %inner
inner:
  %vi = call ptr @load_basis(ptr %V, i64 %i)
  %hij = call double @dot(ptr %w, ptr %vi)
  call void @store(ptr %H, i64 %i, i64 %j, double %hij)
  call void @axpy(double -%hij, ptr %vi, ptr %w)
  br i1 %next_i, label %inner, label %normalize
normalize:
  %hn = call double @norm2(ptr %w)
  call void @scale(ptr %w, double %hn)
  br i1 %restart, label %exit, label %outer
exit:
  ret void
}

define void @cg_preconditioned(ptr %M, ptr %A, ptr %x) {
entry:
  %z = call ptr @solve_lower_upper(ptr %M, ptr %r)
  %rz = call double @dot(ptr %r, ptr %z)
  br label %pcg.loop
pcg.loop:
  %q = call ptr @spmv(ptr %A, ptr %p)
  %step = call double @quotient(double %rz, ptr %p, ptr %q)
  call void @axpy(double %step, ptr %p, ptr %x)
  call void @axpy(double -%step, ptr %q, ptr %r)
  br i1 %ok, label %exit, label %pcg.loop
exit:
  ret void
}

define void @gmres_hessenberg(ptr %A, ptr %V, ptr %H) {
entry:
  br label %outer
outer:
  %vj = call ptr @load_basis(ptr %V, i64 %j)
  %w = call ptr @spmv(ptr %A, ptr %vj)
  br label %inner
inner:
  %vi = call ptr @load_basis(ptr %V, i64 %i)
  %hij = call double @dot(ptr %w, ptr %vi)
  call void @store(ptr %H, i64 %i, i64 %j, double %hij)
  call void @axpy(double -%hij, ptr %vi, ptr %w)
  br i1 %next_i, label %inner, label %normalize
normalize:
  %hn = call double @norm2(ptr %w)
  call void @scale(ptr %w, double %hn)
  br i1 %restart, label %exit, label %outer
exit:
  ret void
}

define void @qr_francis(ptr %A) {
entry:
  %bulge = call ptr @make_bulge(ptr %A)
  br label %chase
chase:
  %g = call ptr @givens_pair(ptr %bulge)
  call void @apply_left(ptr %A, ptr %g)
  call void @apply_right(ptr %A, ptr %g)
  call void @move_bulge(ptr %bulge)
  br i1 %fell_off, label %deflate, label %chase
deflate:
  call void @split_if_small(ptr %A)
  br i1 %done, label %exit, label %entry
exit:
  ret void
}

define void @minres_lanczos(ptr %A, ptr %q) {
entry:
  %qprev = call ptr @zero_vector()
  br label %lanczos
lanczos:
  %z = call ptr @spmv(ptr %A, ptr %q)
  %alpha = call double @dot(ptr %q, ptr %z)
  call void @axpy(double -%alpha, ptr %q, ptr %z)
  call void @axpy(double -%beta, ptr %qprev, ptr %z)
  %beta.next = call double @norm2(ptr %z)
  call void @rotate_tridiagonal(double %alpha, double %beta.next)
  br i1 %locked, label %exit, label %lanczos
exit:
  ret void
}

define void @qr_francis(ptr %A) {
entry:
  %bulge = call ptr @make_bulge(ptr %A)
  br label %chase
chase:
  %g = call ptr @givens_pair(ptr %bulge)
  call void @apply_left(ptr %A, ptr %g)
  call void @apply_right(ptr %A, ptr %g)
  call void @move_bulge(ptr %bulge)
  br i1 %fell_off, label %deflate, label %chase
deflate:
  call void @split_if_small(ptr %A)
  br i1 %done, label %exit, label %entry
exit:
  ret void
}